Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre beschreibt axiomatisch was eine Menge ist, und bildet damit die Grundlage für fast alle modernen Zweige der Mathematik .
Eine Menge beschreibt dabei eine Kollektion von Elementen - sie kann Elemente enthalten, oder leer sein. Dabei ist jedes Element in einer Menge selbst eine Menge.
“ $A$ ist ein Element von $B$ ” wird geschrieben als $A \in B$ . Die Element-Beziehung $\in$ wird implizit durch die folgenden Axiome beschrieben.
Wenn wir die folgenden 10 logischen Aussagen ohne Begründung als wahr annehmen, können wir mit ihnen eine Menge Spaß haben!
Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.
$$\forall A,B: (A = B \Leftrightarrow \forall C : (C \in A \Leftrightarrow C \in B))$$Mengen sind vergleichbar!
Es gibt eine Menge ohne Elemente.
$$\exists B : \forall A : \lnot (A \in B)$$Wir schreiben $B = \emptyset$ .
Grundstein für weitere Definitionen: Wir können die leere Menge $\emptyset$ als Element in anderen Mengen definieren, ohne dass $\emptyset$ selbst ein Element enthält.
Für alle Mengen $A$ und $B$ gibt es eine Menge $C$ , die genau $A$ und $B$ als Elemente hat.
$$\forall A, B : \exists C : \forall D : (D \in C \Leftrightarrow (D=A) \lor (D=B))$$Wir schreiben $C = \{ A, B \}$ .
Das Paarmengenaxiom hilft, Verknüpfungen zwischen zwei Mengen zu definieren. Wir können so auch aus zwei bestehenden Mengen beliebig viele weitere definieren.
Für jede Menge $A$ gibt es eine Menge $B$ , die genau die Elemente der Elemente von $A$ enthält.
$$\forall A : \exists B : \forall C : ( C \in B \Leftrightarrow \exists D : (D \in A \land C \in D) )$$Die Elemente von jeder Menge in $A$ sind also Elemente von $B$ . Wir schreiben die Vereinigung aller Elemente von A als $B = \bigcup A$ .
Zusammen mit dem Paarmengenaxiom lässt sich so die Vereinigung zweier Mengen definieren: $A \cup B = \bigcup \{A, B\}$
Es gibt eine Menge $A$ , die die leere Menge und mit jedem Element $X$ auch die Menge $X \cup \{ X \}$ als Element enthält.
$$\exists A : ( \emptyset \in A \land \forall X : (X \in A \Rightarrow X \cup \{ X \} \in A ) ) $$Mengen können unendlich viele Elemente enthalten. Dadurch lassen sich unendlich große mathematische Strukturen moddelieren.
Zum Beispiel: $A = \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \}, \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \}, \dots \}$
Diese Menge ist die simpelste, unendliche Menge. Sie definiert die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ :
$$\begin{align} 0 &:= \emptyset &= & \{ \} \\ 1 &:= \{ \emptyset \} &= &\{ 0 \} \\ 2 &:= \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} &= &\{ 0, 1 \} \\ 3 &:= \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \} &= &\{ 0, 1, 2 \} \\ 4 &:= \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \}, \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \} \} &= &\{ 0, 1, 2, 3 \} \\ \dots \end{align}$$Für jede Menge $A$ gibt es eine Menge $P$ , deren Elemente genau die Teilmengen von $A$ sind.
$$\forall A : \exists P : \forall B : (B \in P \Leftrightarrow \forall C : ( C \in B \Rightarrow C \in A ))$$Für alle Mengen $A$ existiert eine Menge $P$ , die alle Mengen $B$ enthält, für die gilt, dass alle Elemente von $B$ auch Elemente von $A$ sind.
$P$ ist die Potenzmenge von $A$ . Sie enthält alle Teilmengen von $A$ und wird auch als $\mathcal{P}(A)$ geschrieben.
Sei $A = \{ X, Y, Z \}$ dann ist $\mathcal{P}(A) = \{ \{ X \}, \{ Y \}, \{ Z \}, \{ X, Y \}, \{ X, Z \}, \{ Y, Z \}, \{ X, Y, Z \}\}$
Jede nichtleere Menge $A$ enthält ein Element $B$ , so dass $A$ und $B$ kein Element gemeinsam haben (sie disjunkt sind).
$$\forall A : ( A \neq \emptyset \Rightarrow \exists B: ( B \in A \land \lnot \exists C : ( C \in A \land C \in B ) )$$Dieses Axiom verhindert insbesondere, dass eine Menge sich selbst als Element haben könnte.
Sei $P(C)$ eine logsche Aussage, deren Wahrheitsgehalt von $X$ abhängt (Prädikat). Dann existiert für jede Menge $A$ eine Teilmenge $B$ , die genau die Elmente $C$ von $A$ enthält, für die $P(C)$ wahr ist.
$$\forall A : \exists B : \forall C: (C \in B \Leftrightarrow C \in A \land P(C))$$Wir schreiben $B = \{ C \in A \mid P(C) \}$ .