Eine Funktion ist eine linkstotale und rechtseindeutige zweistellige Relation . Sie ordnet jedem Element einer Definitionsmenge $D$ genau ein Element einer Zielmenge $Z$ zu.
Seien $x \in D$ und $y \in Z$ beliebig.
Dann ist $f : D \to Z, x \mapsto y$ eine Funktion.
Das Zielelement $y$ für ein Element aus der Definitionsmenge wird auch als Bild bezeichnet und als $f(x)$ geschrieben. Daher die Schreibweise $f(x)=y$ .
Der zu einem Bild $y$ gehörige Wert $x$ aus dem Definitionsbereich wird als Urbild bezeichnet.
Die Bildmenge ist eine Teilmenge der Zielmenge und bezeichnet die Menge aller Bilder.
Eine Funktion heißt surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens ein Mal als Funktionswert angenommen wird.
Eine Funktion heißt injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge maximal ein Mal als Funktionswert angenommen wird.
Eine Funktion heißt bijektiv, wenn jedes Element der Zielmenge genau ein Mal als Funktionswert angenommen wird – sie also surjektiv und injektiv ist.
Von bijektiven Funktionen kann die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ gebildet werden, die die Bilder der Funktion auf ihre Urbilder abbildet.
Eine Funktion heißt gerade, falls gilt:
Eine Funktion heißt ungerade, falls gilt:
$sin(x) = -sin(x) \Rightarrow$
Sinus ist eine ungerade Funktion.
$cos(x) = cos(-x) \Rightarrow$
Cosinus ist eine ungerade Funktion.
$ \begin{align} \text{Monoton wachsend: } &x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2) \\ \text{Monoton fallend: } &x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2) \\ \text{streng Monoton wachsend: } &x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) \\ \text{streng Monoton fallend: } &x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) \end{align} $